磁場配位

磁場閉じ込め核融合では、磁力線をどんな形に配置するか（磁場配位（magnetic configuration））が、プラズマを逃がさずに保てるかどうかを決めます。このページでは、磁力線が粒子を捕まえる直感から出発し、なぜ磁場をドーナツ状にねじる必要があるのか、その配位をどう数学で記述し、どう最適化するのかまでを順に見ていきます。

まずは直感から（高校レベル）

荷電粒子は磁力線に巻きつくように運動します。磁石の周りに砂鉄を撒くと線が浮かび上がりますが、あの 1 本 1 本の磁力線が、電気を帯びた粒子にとってのレールのような役割を果たします。粒子は磁力線を横切って自由に飛び去ることができず、磁力線に沿ってらせんを描きながら進みます。この「磁力線を横切りにくい」という性質こそが、磁場でプラズマを閉じ込める出発点です。

では、まっすぐな磁力線を用意すればよいのでしょうか。長いソレノイド（円筒コイル）の中に、まっすぐな磁力線の束を作ることを考えます。粒子は磁力線に巻きつくので、横方向（磁力線を横切る方向）には逃げにくくなります。ところが、磁力線に沿った方向、つまり筒の両端に向かってはスルスルと動けてしまいます。これが直線装置の端損失（end loss）の問題です。バケツに底がなく、横の壁だけがある状態を想像してください。水は横には漏れませんが、下からはどんどん抜けていきます。ミラー方式（magnetic mirror）は両端で磁場を強くして「栓」をする工夫ですが、それでも端からの漏れを完全には止められません。

そこで発想を変えます。両端があるから漏れるなら、端をなくしてしまえばよいのです。まっすぐな筒の両端をつなげて輪にすれば、磁力線はぐるりと一周する閉じた線になり、粒子はどこまで進んでも「端」に到達しません。これがトーラス化（torus、ドーナツ形にすること）のアイデアです。

ところが、輪にしただけでは新しい問題が生まれます。ドーナツ形にすると磁力線は内側で混み合い、外側でまばらになります。磁場が場所によって強かったり弱かったりすると、粒子はゆっくりと上下に押し流されてしまいます。この横滑りをドリフト（drift）と呼びます。プラスの粒子は上へ、マイナスの粒子は下へと分かれて流れるため、上下に電気のかたよりができ、そのかたよりが作る力で今度はプラズマ全体が外側へ膨らんで壁にぶつかってしまいます。単純なドーナツでは、これで一瞬にして閉じ込めが壊れます。

この難問を解く鍵が、磁力線をねじることです。磁力線が一周する間に、ドーナツの上側も下側も通るようにねじっておけば、上に流された粒子はやがて下側の区間に運ばれ、そこでは逆向きに流されます。行きと帰りで押し流しが打ち消し合い、電気のかたよりもたまりません。この「一周する間に上下をねじって通す」性質を回転変換（rotational transform）と呼びます。トカマクもステラレータも、実現方法こそ違え、みなこのねじれた磁力線を作り出すための装置なのです。

物理として理解する（学部レベル）

トーラス配位の磁場は、大きく 2 つの成分に分けて考えます。ドーナツの周方向（大きな輪に沿う方向）に走る成分をトロイダル磁場（toroidal field） $B_t$ 、断面を小さく周回する方向の成分をポロイダル磁場（poloidal field） $B_p$ と呼びます。この 2 つを合成すると、磁力線はドーナツの表面をらせん状に巻きながら一周します。

トロイダル磁場は外部のコイル（トロイダル磁場コイル（TF coil））で作ります。アンペールの法則から、中心軸からの距離を $R$ とすると

B_t(R) = \frac{\mu_0 N I}{2\pi R}

となり、大半径 $R$ に反比例します。ここで $\mu_0$ は真空の透磁率、 $N$ はコイル巻数、 $I$ はコイル電流です。読み下すと、トロイダル磁場はトーラスの内側（小さい $R$ ）ほど強く、外側（大きい $R$ ）ほど弱いということです。この $1/R$ の勾配こそが、前節で述べた粒子ドリフトの原因です。

磁場勾配と磁力線の曲がりが引き起こすドリフト速度は、粒子の電荷を $q$ 、質量を $m$ として

v_D \sim \frac{m(v_\parallel^2 + \tfrac{1}{2}v_\perp^2)}{qB R}

程度の大きさになります。 $v_\parallel$ は磁力線に沿う速度、 $v_\perp$ は垂直方向の速度です。この式は、磁場が弱く（小さい $B$ ）、トーラスが小さい（小さい $R$ ）ほどドリフトが速いことを示します。ドリフトの向きは電荷の符号で反対になるため、イオンと電子が上下に分離してしまいます（このドリフト運動の詳細は粒子の運動を参照してください）。

このドリフトを打ち消すのがポロイダル磁場です。 $B_p$ があると磁力線は断面内を回りながら進むので、粒子は上半分と下半分を交互に通過します。上でたまろうとした正電荷は、下側区間では逆向きのドリフトを受けるため、一周を平均するとかたよりが解消されます。ポロイダル磁場をどう作るかが、方式の違いを生みます。トカマク（tokamak）はプラズマ自身に大電流（プラズマ電流（plasma current））を流し、その電流が作る磁場を $B_p$ として使います。ステラレータ（stellarator）は外部のねじれたコイルだけで $B_p$ を作り、プラズマ電流に頼りません。プラズマ電流に依存するトカマクは強い閉じ込めを作りやすい反面、電流を流し続ける必要があり、電流が急に途切れる放電崩壊（disruption）の危険を抱えます。外部コイルで作るステラレータは定常運転に向く反面、コイル形状が複雑になります。

磁力線がどれだけねじれているかを表す量が安全係数（safety factor） $q$ です。定義は、磁力線がポロイダル方向に 1 周する間にトロイダル方向に何周するかで、近似的に

q \approx \frac{r B_t}{R B_p}

と書けます。 $r$ は断面の小半径、 $R$ は大半径です。読み下すと、トロイダル磁場が強くポロイダル磁場が弱いほど $q$ は大きく、磁力線のねじれは緩くなります。回転変換 $\iota$ （イオタ）はこの逆数 $\iota = 1/q$ で、こちらは「ポロイダル方向のねじれの回数」を直接表すため、ステラレータ分野でよく使われます。

同じ $q$ を持つ磁力線は、ドーナツ表面の入れ子になった一枚のチューブ状の面を埋め尽くします。この面を磁気面（magnetic surface）と呼びます。玉ねぎの皮のように何層も入れ子になっており、各層の上でプラズマの圧力や温度がほぼ一定になります。閉じ込めとは、この磁気面を壊さずに何層も保つことだと言い換えられます。

理論を深める（大学院レベル）

磁気面が存在することは、理想電磁流体力学（ideal MHD）の平衡条件から理解できます。圧力を $p$ 、電流密度を $\mathbf{j}$ 、磁場を $\mathbf{B}$ とすると、力の釣り合いは

\nabla p = \mathbf{j} \times \mathbf{B}

です。この式に $\mathbf{B}$ を内積すると $\mathbf{B} \cdot \nabla p = 0$ が得られます。読み下すと、磁力線に沿って圧力は変化しない、すなわち圧力一定の面（磁気面）の上を磁力線が走るということです。同様に $\mathbf{j} \cdot \nabla p = 0$ から、電流も磁気面上を流れます。

トーラス配位の平衡は、軸対称の場合グラッド・シャフラノフ方程式（Grad-Shafranov equation）にまとめられます。ポロイダル磁束関数 $\psi$ を用いて

R^2 \nabla \cdot \left( \frac{\nabla \psi}{R^2} \right) = -\mu_0 R^2 \frac{dp}{d\psi} - F \frac{dF}{d\psi}

と書け、 $F = R B_t$ はポロイダル電流に関係する量です。この方程式を解くと、 $\psi$ が一定の等高線が磁気面になり、有限圧力のプラズマでは磁気面の中心が外側にずれるシャフラノフシフト（Shafranov shift）が現れます。

このように磁気面を扱うとき、通常の空間座標より、磁気面に張りついた座標系のほうが便利です。磁束を径方向のラベルに使い、磁気面上の位置をポロイダル角とトロイダル角で表すフラックス座標（flux coordinates）を導入します。とくに、磁力線が座標上で直線に見えるように角度を選んだものをストレートフィールドライン座標（straight-field-line coordinates）と呼び、ハマダ座標（Hamada coordinates）やボゾア座標（Boozer coordinates）がよく使われます。この座標では安全係数が磁気面ごとの定数として自然に現れ、輸送や安定性の解析が大きく簡単になります。

$q$ が有理数 $m/n$ になる磁気面を有理面（rational surface）と呼びます。有理面では磁力線が有限回で自分自身に戻って閉じるため、共鳴的な摂動が成長しやすく、MHD 不安定性や磁気島（magnetic island）の発生点になります。プラズマの有限抵抗によって磁力線がつなぎ換わる（磁気リコネクション）と、有理面の周りにチューブが千切れて島状の構造ができ、島の内部では圧力が平坦化して局所的に閉じ込めが劣化します。とくにネオクラシカルテアリングモード（neoclassical tearing mode、NTM）は、自発的に流れるブートストラップ電流（bootstrap current）の欠損が島を成長させる正のフィードバックを持ち、電子サイクロトロン電流駆動（ECCD）で欠損電流を補うことで制御します。

$q$ の径方向の変化率を磁気シア（magnetic shear）と呼び、 $s = (r/q)(dq/dr)$ で定義します。シアが強いと、径方向に隣り合う磁気面でねじれの向きがずれるため、多くの不安定性のモードが引き伸ばされて安定化されます。運転上は、中心で $q_0$ 、プラズマ端近くで $q_{95}$ （規格化磁束 95% 面での値）を指標にし、内部キンクモード（kink mode）を避けるため $q_0 > 1$ 、外部キンクモードを避けるため $q_{95} > 2$ 、実際には余裕を見て $q_{95} > 3$ 程度を保ちます。

プラズマ端では、磁気面を意図的に開いてダイバータ配位（divertor configuration）を作ります。ポロイダル磁場をゼロにする X 点（X-point）を設けると、その外側では磁力線が壁の専用領域（ダイバータ板）につながり、そこで熱と不純物を受け止めて排気します。X 点を 1 つ持つシングルヌル、上下対称に 2 つ持つダブルヌル、2 次の X 点で磁束を広げるスノーフレーク配位など、熱負荷を下げる工夫が研究されています。

研究の最前線（博士課程レベル）

現在の磁場配位研究の中心は、配位そのものを設計変数として最適化する配位最適化（configuration optimization）です。かつては装置形状を先に決めてからプラズマを解析していましたが、今日では望ましい物理性能を先に指定し、それを満たすコイル形状や磁場分布を逆算します。

ステラレータでは、準対称性（quasi-symmetry）の発見がこの流れを加速しました。実空間ではねじれて非軸対称でも、ボゾア座標上で磁場強度がある方向に対称になっていれば、その方向の運動量が保存され、トカマク並みに粒子が閉じ込められます。準軸対称（quasi-axisymmetry）、準ヘリカル対称（quasi-helical symmetry）、準ポロイダル対称（quasi-poloidal symmetry）といった種類があり、大規模な数値最適化によってこれらを高精度で満たす配位が設計されるようになりました。ヘリカル系装置ステラレータ/ヘリカル方式では、こうした最適化配位の実証が主要なテーマです。

トカマクトカマク方式の側では、電流分布を能動的に整形する先進配位（advanced scenario）が研究されています。中心部で $q$ が極小値を持つ逆シア配位（reversed shear）は、内部輸送障壁（internal transport barrier、ITB）を形成して閉じ込めを飛躍させます。中心で $q$ プロファイルを平坦に保つハイブリッドシナリオは、ソートゥース振動を避けつつ安定な高性能運転を狙います。究極の目標は、外部からの電流駆動を最小にし、ブートストラップ電流だけで必要なポロイダル磁場を自給する完全非誘導定常運転（fully non-inductive steady-state operation）です。

最適化を支える数学的な道具立ても最前線の話題です。磁気面がきれいに存在すること自体が保証されないため、島や磁力線がランダムに彷徨うストキャスティック領域（stochastic region）の生成と抑制が問われます。近年は、随伴法（adjoint method）や自動微分を使ってコイル形状に対する感度を高速に評価し、勾配法で大域的にコイルとプラズマを同時最適化する手法が発展しています。閉じ込めと安定性、そして工学的に作れるコイル形状を同時に満たす配位を探す問題は、いまも活発に研究されています。

ミラー系ミラー方式のように端損失を別のアプローチで抑える方式も含め、どんな磁場の形が最も効率よくプラズマを保てるのかという問いは、核融合研究の根幹に位置し続けています。

理解度チェック

問 1. 直線状の磁場装置がプラズマを完全には閉じ込められないのはなぜですか。

問 2. 単純にトーラス（ドーナツ形）にするだけでは閉じ込めが成立しないのはなぜですか。

問 3. 回転変換（磁力線のねじれ）がドリフトの問題を解決できるのはなぜですか。

問 4. ポロイダル磁場の作り方について、トカマクとステラレータの違いとして正しいものはどれですか。

問 5. 準対称性（quasi-symmetry）が配位最適化で重要とされるのはなぜですか。