等离子体的输运

聚变反应堆的性能，取决于被约束的等离子体中的粒子和热量逃逸得有多慢。研究这种“逃逸方式”的领域就是等离子体输运（plasma transport）。本页将从扩散这一身边的图像入手来把握输运，依次讲解经典输运、新经典输运、湍流输运，最后一口气看到 H 模、约束定标律以及研究前沿。

先建立直觉（高中水平）

往杯子里的水中滴一滴墨水，即使不搅拌，它也会一点点扩散到整杯水里。这就是扩散。无数分子一边胡乱地相互碰撞一边移动，最终从浓的地方向稀的地方产生净流动，这就是扩散现象。等离子体输运本质上也一样：被约束的高温等离子体中心浓而热、外侧稀而冷，所以粒子和热量会缓缓地想要向外扩散。

在聚变中，我们希望让这种扩散尽可能地慢。用磁场约束等离子体，就好比把热茶装进保温瓶：如果保温瓶的隔热性能差，茶很快就会凉掉。衡量等离子体能把热量保持多久的指标叫作能量约束时间（energy confinement time），输运越小，这个时间就越长。

这里有一个与直觉相反的事实。磁场中的带电粒子会螺旋状地缠绕在磁力线上运动，所以沿磁力线方向能跑得很好，但横穿磁力线的方向本应几乎动不了。然而在实际装置中，热量横向逃逸的速度比理论预测要快得多。为什么会比预测跑得更快，追查这个“真凶”的故事，正是本页的看点。真凶就是等离子体自身产生的细小旋涡，也就是湍流（turbulence）。

带电粒子缠绕磁力线的运动本身，在另一页粒子的运动中有详细介绍。它是理解输运的基础，配合阅读会更加清楚。

用物理来理解（本科水平）

用数学表达扩散的出发点，是粒子流（通量）与浓度梯度成正比的菲克定律 $\Gamma = -D \nabla n$ 。这里 $\Gamma$ 是单位面积的粒子流， $n$ 是粒子密度， $D$ 是扩散系数（diffusion coefficient）， $\nabla n$ 是密度的空间梯度。负号表示“从浓的一侧流向稀的一侧”。可以说，理解输运就是要估计这个 $D$ 有多大。

扩散系数可以用随机行走的思路估计为 $D \sim (\Delta x)^2 / \tau$ 。 $\Delta x$ 是一次碰撞横向飞出的距离， $\tau$ 是碰撞与碰撞之间的时间。记成“一步步长的平方，除以走一步所花的时间就是扩散系数”，会很直观。

首先考虑经典输运（classical transport）。这是只以粒子间库仑碰撞为原因、最基本的输运。磁场中的带电粒子以半径 $\rho$ （拉莫尔半径，Larmor radius）绕磁力线旋转，所以每碰撞一次大约横向飞出 $\rho$ 。因此步长 $\Delta x \sim \rho$ ，扩散系数约为

D_{\text{classical}} \sim \rho^2 \nu

其中 $\nu$ 是碰撞频率。磁场越强，拉莫尔半径 $\rho$ 越小，所以 $D$ 与磁场的平方成反比而变小。这是个令人高兴的结论：磁场越强，约束越好。然而麻烦的是，实验测得的扩散系数，比这个经典理论的预测大了一到两个数量级。这种不一致，正是长期困扰聚变研究的反常输运（anomalous transport）问题。

深入理论（研究生水平）

弥合经典理论与实验之差的努力，沿两个方向展开。一个是正确纳入磁场位形的效应，另一个是纳入湍流。下面依次来看。

新经典输运与香蕉轨道

托卡马克和仿星器的等离子体呈甜甜圈状（环面），所以磁场强度在内侧（靠近甜甜圈孔的一侧）强，在外侧弱。由于这种不均匀，沿磁力线运动的一部分粒子会在磁场强的区域被反弹而被约束住。这类粒子叫作捕获粒子（trapped particle），而不被反弹、能绕一整圈的粒子叫作通行粒子（passing particle）。

捕获粒子一边沿磁力线来回运动一边漂移，所以从截面看会画出香蕉般形状的轨道。这就是香蕉轨道（banana orbit）。香蕉的宽度大约扩展到拉莫尔半径的 $q/\sqrt{\varepsilon}$ 倍（ $q$ 是安全因子， $\varepsilon$ 是纵横比的倒数）。步长 $\Delta x$ 比经典输运大得多，所以扩散系数也随之增大。这种纳入了环面位形几何的输运理论叫作新经典输运（neoclassical transport）。新经典输运预言的扩散比经典输运大一个数量级左右，但仍然达不到实验值。

新经典理论的一个重要副产物是自举电流（bootstrap current）。它预言：当存在压力梯度时，捕获粒子的运动会自发地产生环向电流；在高压力等离子体中，它可以承担相当一部分总等离子体电流。由于能减少外部电流驱动，对于以稳态运行为目标的聚变反应堆非常重要。

反常输运与湍流

剩下的巨大不一致，其真凶就是湍流。等离子体中存在温度或密度梯度这样的能量源，它驱动微观不稳定性，使细小的旋涡和波不断产生。旋涡把等离子体横向搅拌，比菲克扩散快得多地输运热量和粒子。有代表性的驱动源包括离子温度梯度模（ITG mode）、捕获电子模（TEM）、电子温度梯度模（ETG mode）。这些微观不稳定性，与处理更宏观不稳定性的等离子体的不稳定性一页是一脉相承的。

估计湍流输运扩散系数的基准是回旋玻姆扩散（gyro-Bohm diffusion）。把旋涡的大小看作拉莫尔半径量级、时间尺度看作漂移频率的倒数，则约为

D_{\text{gyro-Bohm}} \sim \frac{\rho}{a}\, \frac{T}{eB}

其中 $a$ 是装置的小半径， $T$ 是温度， $B$ 是磁场。 $T/eB$ 这一部分与古老的经验法则玻姆扩散（Bohm diffusion）相同，但关键在于它还乘上了一个小比值 $\rho/a$ 。这表明把装置做大、使 $\rho/a$ 变小，约束会相对变好，也成为大型装置更有利的原因之一。

湍流输运还有一个重要性质，就是临界梯度（critical gradient）与“stiff transport（刚性输运）”。当温度梯度超过某个临界值时，湍流会突然变强，输运猛增。其结果是温度分布会像贴附在临界梯度附近一样被维持住。无论把中心加热得多强，中心温度都升不了多少，反而是边缘（基座）的温度在把整体温度推高，这一在设计上很重要的结论由此产生。

输运垒与 H 模

1982 年，在德国的 ASDEX 托卡马克上发现了 H 模（high-confinement mode，高约束模）。当加热功率超过某个阈值时，等离子体边缘会形成一薄层，湍流被抑制，约束改善约两倍。这一湍流被抑制的层就叫作输运垒（transport barrier）。

其主要机制是径向电场剪切（radial electric field shear）对湍流的抑制。当电场沿径向急剧变化时，等离子体会以错开的速度流动（剪切流），湍流的旋涡被拉伸而扯断。当剪切拉伸的速度（剪切率）超过湍流的增长率时，旋涡在成长之前就被破坏，输运下降。边缘形成的垒叫作边缘输运垒，由负磁剪切位形或旋转剪切在等离子体内部形成的垒叫作内部输运垒（internal transport barrier，ITB）。

在 H 模中，边缘会形成一个压力梯度陡峭的层，即基座（pedestal）。基座越高，整体性能就被抬得越高，所以它的高度极大地左右着反应堆性能。另一方面，当压力梯度达到 MHD 稳定极限时，边缘局域模（edge localized mode，ELM）会周期性地爆发，向偏滤器施加瞬间的热负荷。在 ITER 中，如何抑制这种 ELM 成了重要课题。

约束定标律

由于输运的第一性原理计算很困难，在实机设计中会使用对众多装置数据进行回归而得到的经验式，即约束定标律（confinement scaling law）。作为 H 模的标准而被广泛使用的是 IPB98（y,2）定标，它把能量约束时间 $\tau_E$ 表示为电流、磁场、密度、加热功率、装置尺寸等的幂次之积。ITER 的设计就以这一定标为基础。

其特征在于对加热功率 $P$ 的依赖，约为 $\tau_E \propto P^{-0.69}$ ，即加热越强，约束时间越短。这叫作功率退化（power degradation），正反映了湍流输运的刚性性质。并不是简单地“多加热就会高温”，聚变设计的困难就体现在这里。关于聚变得以成立的条件本身，请参见劳森判据一页。

研究前沿（博士水平）

从第一性原理预测湍流输运的主力手段，是回旋动理学（gyrokinetics）模拟。它通过对拉莫尔回旋进行平均，把 6 维的动理学降为 5 维，使得能用现实的计算资源求解微观湍流，GENE、GKV、GYRO、GS2 等程序在世界各地被广泛使用。在与实验相互印证的同时，定量地揭示哪种不稳定性主导哪个区域的输运，这样的研究正在推进。

当前主要的研究课题有以下几类。第一是如何抑制湍流，即湍流抑制（turbulence suppression）。人们在研究被称为带状流（zonal flow）的自发剪切流如何对湍流进行自我调节的机制，以及通过外部的流动、电场控制来实现抑制。第二是并非仅由局部梯度决定的非局域输运（nonlocal transport）和雪崩式输运，作为远处区域的扰动瞬时传播的现象而受到关注。第三是预测基座结构的 EPED 之类的模型，以及控制 ELM 的共振磁扰动（resonant magnetic perturbation，RMP）研究。此外，近年来把回旋动理学的海量数据用机器学习替换为高速代理模型，进而连接到实时控制和集成建模的尝试也很活跃。这些都是面向“反常输运的完全预测与控制”这一尚未解决的大问题的前沿。

理解自测

第 1 题把等离子体输运比作身边的现象，是什么？

第 2 题经典输运的扩散系数由什么量决定？

第 3 题捕获粒子画出的轨道叫什么，它对输运起作用的原因是什么？

第 4 题实验值大于经典、新经典理论的主因是什么，其大小的基准是什么？

第 5 题 H 模中约束得到改善是为什么？