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磁流体力学（MHD）

磁流体力学（magnetohydrodynamics），简称 MHD，把等离子体看作一种”导电的流体”，并描述这种流体如何与磁场相互挤压。聚变装置中的等离子体究竟能否稳定地悬浮，还是会崩溃并撞上壁面，都由 MHD 决定。本页将先用身边的比喻建立直觉，接着依次搭建基本方程、磁压与磁张力、冻结定理、等离子体比压、平衡与稳定性，直到磁重联与数值模拟等研究前沿。

先建立直觉（高中水平）

Section titled “先建立直觉（高中水平）”

等离子体是原子被拆散成电子和离子的气体，可以把它想成一种导电的气体。MHD 的出发点，就是把这种导电气体当作”一种流体”，像水或空气那样连续的东西来看待。实际上离子和电子是各自四处飞奔的，但从大尺度看，它们就像一整块果冻一样运动，我们便这样来设想。

这块果冻的特别之处，在于它与磁场紧密纠缠。磁场通常被想象成一束看不见的”磁力线”。在条形磁铁周围撒上铁屑，就会浮现出那种纹路。在 MHD 的世界里，这些磁力线深深扎进等离子体，再也分不开。等离子体一动，磁力线也被一起拖着走；磁力线一动，等离子体也被带着走。就好像磁力线和等离子体被线缝在了一起。这就叫作冻结（frozen-in）。

磁力线有两种”性格”。一种是相邻的磁力线互相排斥、不愿挤在一起的性格。它就像塞满空气的气球那样，表现为向外扩张的压力。这就是磁压。另一种是被弯曲的磁力线想要恢复笔直的性格。想象一根绷紧的橡皮筋或琴弦，一弯曲就想弹回原状。这就是磁张力。

聚变装置想做的，是把超过一亿度的超高温等离子体不接触壁面地悬浮起来约束住。一旦碰到壁面，等离子体就会冷却，壁面也会受损。于是人们用磁力线搭起一个”笼子”，用磁压和磁张力把高温等离子体向内压住。等离子体想向外膨胀，磁场则向内推回。这场拔河恰好平衡的状态，就称为平衡。而当稍加扰动后，它是恢复原状，还是扰动被放大以致崩溃，这就是稳定性问题。MHD 正是处理这场约束拔河及其崩溃方式的理论。

用物理来理解（本科水平）

Section titled “用物理来理解（本科水平）”

先确认 MHD 究竟在什么条件下成立。把等离子体视为流体的前提，是所关注现象的空间尺度远大于离子的回旋半径（离子拉莫尔半径），时间尺度远长于离子的回旋周期（离子回旋周期）。当每个粒子绕圈打转的运动（详见 带电粒子的运动）被平均而模糊掉，只剩下作为集体的流体行为，这种”粗看”的图像就是 MHD。此外，还以现象缓慢、远慢于光速、可忽略位移电流为前提。

在这一图像下，等离子体由流体方程与麦克斯韦方程联立来描述。基本方程组如下。首先是表示质量守恒的连续性方程。

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0

这里 ρ\rho 是质量密度，v\mathbf{v} 是流体速度。这个方程表述的是”某区域的质量，流入多少就增加多少，流出多少就减少多少”这一理所当然的事实。

接下来是表示力平衡的运动方程。

ρ(∂v∂t+v⋅∇v)=−∇p+J×B\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mathbf{J} \times \mathbf{B}

左边是等离子体流体的加速度乘以质量，也就是牛顿运动方程中的”质量乘加速度”。右边第一项 −∇p-\nabla p 是从压力高处推向低处的力（压力梯度力），第二项 J×B\mathbf{J} \times \mathbf{B} 是由电流 J\mathbf{J} 与磁场 B\mathbf{B} 产生的洛伦兹力。这两种力的拔河，决定了等离子体的运动。

第三个是能量方程，多数情况下用绝热关系式 pρ−γ=常数p \rho^{-\gamma} = \text{常数}（γ\gamma 为比热比）把压力与密度的关系封闭。第四个是欧姆定律。

E+v×B=ηJ\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} = \eta \mathbf{J}

E\mathbf{E} 是电场，η\eta 是电阻率。可把右边电阻视为零的情形称为理想 MHD，不可忽略的情形称为电阻性 MHD。最后，麦克斯韦方程中的法拉第定律 ∂B/∂t=−∇×E\partial \mathbf{B} / \partial t = -\nabla \times \mathbf{E} 和安培定律 ∇×B=μ0J\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} 加入进来，方程组便封闭了。

在这里，把洛伦兹力 J×B\mathbf{J} \times \mathbf{B} 用安培定律改写为只含磁场的形式，就会漂亮地分成直觉一节所述的两种力。

J×B=−∇(B22μ0)+1μ0(B⋅∇)B\mathbf{J} \times \mathbf{B} = -\nabla \left( \frac{B^2}{2\mu_0} \right) + \frac{1}{\mu_0} (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{B}

第一项是磁压，其大小 pB=B2/(2μ0)p_B = B^2 / (2\mu_0) 与磁场强度的平方成正比，向各个方向各向同性地施压。第二项是磁张力，只在磁力线弯曲时起作用，试图把弯曲拉回笔直。μ0\mu_0 是真空磁导率。

等离子体压力与磁压力之比，是表示约束效率的重要指标，称为等离子体比压（plasma beta）。

β=pB2/(2μ0)\beta = \frac{p}{B^2 / (2\mu_0)}

β\beta 表示”用同样的磁场能约束住多少热的等离子体”。越大越经济，但过大就会变得不稳定。在托卡马克中通常为百分之几。

深入理论（研究生水平）

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先从平衡看起。在定常状态（∂/∂t=0\partial / \partial t = 0）且无流动（v=0\mathbf{v} = 0）时，运动方程只剩下力的平衡。

∇p=J×B\nabla p = \mathbf{J} \times \mathbf{B}

对此式与 B\mathbf{B} 取内积，得到 B⋅∇p=0\mathbf{B} \cdot \nabla p = 0，可知沿磁力线压力不变。同样也能导出 J⋅∇p=0\mathbf{J} \cdot \nabla p = 0，磁力线和电流线都落在同一等压面上。这个面称为磁面（flux surface），由此得到以压力恒定的嵌套面把等离子体层状约束起来的图像。

在托卡马克这类轴对称系统中，这一平衡归结为一个称为格拉德-沙夫拉诺夫方程（Grad-Shafranov equation）的二维偏微分方程。

Δ∗ψ=−μ0R2dpdψ−FdFdψ\Delta^* \psi = -\mu_0 R^2 \frac{dp}{d\psi} - F \frac{dF}{d\psi}

这里 ψ\psi 是极向磁通，RR 是大半径方向的坐标，FF 是与环向磁场相关的量，Δ∗\Delta^* 是椭圆型微分算子。只要给定右边的压力剖面 p(ψ)p(\psi) 和相当于电流剖面的 F(ψ)F(\psi) 这两个自由函数，磁面的形状便确定下来。在托卡马克设计中，数值求解这个方程以设计平衡，正是出发点。

即便求出了平衡，它也未必稳定。统一判定稳定性的方法是能量原理（energy principle）。设想把等离子体从平衡处偏移一个微小位移 ξ\boldsymbol{\xi}，考虑系统势能的变化 δW[ξ]\delta W[\boldsymbol{\xi}]。若对一切可能的位移都有 δW>0\delta W > 0，则无论怎么偏移能量都会增加（处于谷底），因此稳定。反之，只要存在一个使 δW<0\delta W < 0 的位移，系统就会朝那个方向自发地降低能量而崩溃，处于不稳定状态。δW\delta W 可写成弯曲磁力线的项、压缩磁场的项（这些起稳定作用）与压力梯度、电流驱动的项（这些起失稳作用）之和，哪个项占上风便决定了稳定性。

举几个有代表性的不稳定性。扭曲不稳定性（kink instability）是等离子体柱呈螺旋状扭曲的变形，当安全因子 qq（磁力线绕环面一周期间扭转多少的指标）低于 1 时容易发生。气球不稳定性（ballooning instability）由压力梯度驱动，在磁力线弯曲不利的环面外侧局部鼓起。撕裂模（tearing mode）是电阻性不稳定性，通过后文所述的重联把磁面撕开，形成称为磁岛（magnetic island）的嵌套结构破损。这些不稳定性的详细分类在 等离子体的不稳定性 中讨论。这类不稳定性决定了比压极限（Troyon 极限）和密度极限（Greenwald 极限），并成为约束急剧丧失的破裂（disruption）的诱因。

在这里，理想 MHD 与电阻性 MHD 的区别变得至关重要。在理想 MHD（η=0\eta = 0）中，冻结定理严格成立。把欧姆定律与法拉第定律结合起来，可以证明穿过任意闭合曲线的磁通不随时间变化，磁力线与等离子体一体运动，绝不会重新连接。然而只要存在哪怕微小的电阻 η\eta，这一束缚便松开了。在磁面密集、电流集中的薄层（电流片）里，即使 η\eta 很小，电阻项也会起作用，磁力线便能重新连接。这就是磁重联（magnetic reconnection）。一旦发生重联，原本分开的磁力线便重新连接，储存的磁能一下子转化为动能和热。托卡马克的锯齿振荡（sawtooth oscillation）以及太阳耀斑的爆发式能量释放，都由这种重联来解释。理想 MHD 告诉我们的是”会不会崩溃”，而电阻性 MHD 告诉我们的是”如何、以多快的速度重新连接而崩溃”。

研究前沿（博士水平）

Section titled “研究前沿（博士水平）”

现代 MHD 研究已超越线性稳定性分析，把重心移向追踪不稳定性充分成长之后会发生什么的非线性领域。处于核心的是非线性 MHD 数值模拟。人们在环面几何上，把电阻性 MHD 方程，或在其上加入双流体效应（把电子和离子分别处理的修正）的扩展 MHD 方程，作为三维、随时间演化的问题进行数值求解。JOREK、M3D-C1、NIMROD 等程序在国际上被广泛使用，力图再现实验中观测到的剧烈现象，例如破裂的全过程、边缘局域模（edge-localized mode, ELM）的喷发、磁岛的成长等。

举几个活跃的研究主题。破裂（disruption）的预测与缓解，是装置越大型化越严峻的课题。在 ITER 这类大型装置中，一次破裂就会给壁面带来巨大的热与力负荷，因此人们大力研究逃逸电子（runaway electron）的产生机制，以及注入杂质气体安全耗散能量的缓解手法。新经典撕裂模（neoclassical tearing mode, NTM）是一种因磁岛内部压力梯度丧失而自发成长的电阻性模，人们研究并验证了把电子回旋电流驱动（electron cyclotron current drive, ECCD）精准打入磁岛位置的主动控制。电阻壁模（resistive wall mode, RWM）是一种因导体壁电阻使壁的稳定化效果在有限时间内丧失的模，人们研究反馈线圈的控制与等离子体旋转稳定化之间的相互作用。

理论与计算的方法论本身也在进展。MHD 本来是把粒子的动理学效应平均掉后舍弃的框架，但实际上高速离子和共振粒子会与 MHD 模强烈耦合。于是连接流体 MHD 与动理学的回旋动理学 MHD、以及混合模拟（在流体背景上叠加动理学高速粒子的手法）得到发展，人们研究阿尔芬本征模（Alfvén eigenmode）与聚变生成的阿尔法粒子之间的相互作用等。关于重联，如何为 MHD 尺度与实际发生重联的微小尺度之间架起桥梁进行建模，依然是理论上的焦点。读论文时，ideal/resistive MHD、Grad-Shafranov、energy principle、Newcomb’s equation、δW\delta W、tearing mode、reconnection rate、extended/two-fluid MHD 等关键词会频繁出现。这些数值与理论成果，最终都会反哺到 托卡马克 这类实机的运行方案设计中。

理解自测

Section titled “理解自测”
第 1 题 MHD 中所说的磁力线冻结在等离子体上，比喻的是怎样一种状态？
第 2 题 磁压与磁张力各自是怎样性格的力？请用身边的比喻说明。
第 3 题 等离子体比压 β 是哪两者之比，比压大有什么优点和缺点？
第 4 题 描述托卡马克平衡的格拉德-沙夫拉诺夫方程，表示的是怎样一种物理平衡？
第 5 题 理想 MHD 与电阻性 MHD 的本质区别是什么，由这一区别产生的代表性现象是什么？

相关主题

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