磁场位形

在磁约束聚变中，把磁力线布置成什么形状（磁场位形（magnetic configuration））决定了能否让等离子体不逃逸地保持住。本页从磁力线捕获粒子的直觉出发，逐步讲解为什么需要把磁场扭成甜甜圈形状、如何用数学描述这种位形，以及如何对它进行优化。

先建立直觉（高中水平）

带电粒子会像缠绕在磁力线上一样运动。在磁铁周围撒上铁粉会浮现出一条条磁力线，那每一条磁力线对带电粒子来说都起到类似轨道的作用。粒子无法横穿磁力线自由飞离，而是沿着磁力线画出螺旋线前进。这种「难以横穿磁力线」的性质，正是用磁场约束等离子体的出发点。

那么，只要准备笔直的磁力线就好了吗？设想在一根长螺线管（圆筒线圈）内部制造出一束笔直的磁力线。粒子会缠绕在磁力线上，因此在横向（横穿磁力线的方向）难以逃逸。可是沿着磁力线的方向，也就是朝向筒的两端，粒子却能顺畅地滑走。这就是直线装置的端损失（end loss）问题。请想象一只没有底、只有侧壁的水桶。水不会从侧面漏出，却会不断从下方流失。磁镜方式（magnetic mirror）通过在两端增强磁场来「塞住」出口，但即便如此也无法完全阻止从端部的泄漏。

于是我们换个思路。既然有两端才会漏，那把端消除掉就好了。把笔直筒子的两端连起来围成一个环，磁力线就成为绕一圈的闭合曲线，粒子无论前进到哪里都不会到达「端」。这就是环化（torus，弯成甜甜圈形状）的想法。

可是仅仅围成环又会产生新的问题。做成甜甜圈形状后，磁力线在内侧变得密集，在外侧变得稀疏。当磁场随位置有强有弱时，粒子就会被缓慢地上下推移。这种横向滑移称为漂移（drift）。正粒子向上、负粒子向下分开流动，于是上下形成电荷的偏聚，而这种偏聚产生的力又会使整个等离子体向外膨胀撞上壁面。在简单的甜甜圈里，约束就这样瞬间被破坏。

解开这道难题的关键在于把磁力线扭转。只要让磁力线在绕一圈的过程中既通过甜甜圈的上侧又通过下侧，被推向上方的粒子最终会被带到下侧区间，在那里受到反方向的推移。去程和回程的推移相互抵消，电荷偏聚也不会积累。这种「在绕一圈的过程中把上下扭转着穿过」的性质称为旋转变换（rotational transform）。托卡马克和仿星器尽管实现方式不同，但都是为了制造出这种扭转磁力线的装置。

用物理来理解（本科水平）

环面位形的磁场大致分成两个分量来考虑。沿甜甜圈周向（沿大环方向）运行的分量称为环向磁场（toroidal field） $B_t$ ，在截面内小幅环绕方向的分量称为极向磁场（poloidal field） $B_p$ 。把这两者合成起来，磁力线就会一边在甜甜圈表面呈螺旋状缠绕一边绕行一圈。

环向磁场由外部线圈（环向磁场线圈（TF coil））产生。由安培定律，设离中心轴的距离为 $R$ ，则

B_t(R) = \frac{\mu_0 N I}{2\pi R}

与大半径 $R$ 成反比。这里 $\mu_0$ 是真空磁导率， $N$ 是线圈匝数， $I$ 是线圈电流。读出来就是，环向磁场在环面越靠内侧（ $R$ 越小）越强，越靠外侧（ $R$ 越大）越弱。正是这个 $1/R$ 的梯度，造成了上一节所述的粒子漂移。

磁场梯度和磁力线弯曲引起的漂移速度，设粒子电荷为 $q$ 、质量为 $m$ ，其量级约为

v_D \sim \frac{m(v_\parallel^2 + \tfrac{1}{2}v_\perp^2)}{qB R}

$v_\parallel$ 是沿磁力线的速度， $v_\perp$ 是垂直方向的速度。这个式子表明，磁场越弱（ $B$ 越小）、环面越小（ $R$ 越小），漂移就越快。漂移的方向随电荷符号而相反，因此离子和电子会上下分离（关于这种漂移运动的细节，请参见粒子运动）。

抵消这种漂移的正是极向磁场。有了 $B_p$ ，磁力线就会一边在截面内环绕一边前进，于是粒子交替通过上半部和下半部。想在上方积累的正电荷，在下侧区间会受到反方向的漂移，因此绕一圈平均下来偏聚就被消除了。如何产生极向磁场，造成了各种方式的差异。托卡马克（tokamak）在等离子体本身中通入大电流（等离子体电流（plasma current）），把该电流产生的磁场用作 $B_p$ 。仿星器（stellarator）仅用外部的扭曲线圈来产生 $B_p$ ，不依赖等离子体电流。依赖等离子体电流的托卡马克容易造出强约束，但另一方面需要持续通入电流，还面临电流骤然中断的放电破裂（disruption）风险。用外部线圈产生磁场的仿星器适合稳态运行，但另一方面线圈形状会变得复杂。

表示磁力线扭转程度的量是安全因子（safety factor） $q$ 。其定义为磁力线沿极向绕一圈的过程中沿环向绕几圈，近似地可写作

q \approx \frac{r B_t}{R B_p}

$r$ 是截面的小半径， $R$ 是大半径。读出来就是，环向磁场越强、极向磁场越弱， $q$ 就越大，磁力线的扭转就越缓。旋转变换 $\iota$ （iota）是它的倒数 $\iota = 1/q$ ，它直接表示「极向的扭转圈数」，因此在仿星器领域常被使用。

具有相同 $q$ 的磁力线会铺满甜甜圈表面上一层嵌套的管状面。这个面称为磁面（magnetic surface）。它像洋葱皮一样一层层嵌套，在每一层上等离子体的压强和温度几乎保持一定。约束可以换句话说就是不破坏这些磁面地保持住许多层。

深入理论（研究生水平）

磁面的存在可以从理想磁流体力学（ideal MHD）的平衡条件来理解。设压强为 $p$ 、电流密度为 $\mathbf{j}$ 、磁场为 $\mathbf{B}$ ，则力的平衡为

\nabla p = \mathbf{j} \times \mathbf{B}

对这个式子点乘 $\mathbf{B}$ ，就得到 $\mathbf{B} \cdot \nabla p = 0$ 。读出来就是，沿磁力线压强不变，也就是说磁力线运行在压强一定的面（磁面）之上。同样，由 $\mathbf{j} \cdot \nabla p = 0$ ，电流也在磁面上流动。

环面位形的平衡，在轴对称情形下可归纳为格拉德–沙夫拉诺夫方程（Grad-Shafranov equation）。用极向磁通函数 $\psi$ 可写作

R^2 \nabla \cdot \left( \frac{\nabla \psi}{R^2} \right) = -\mu_0 R^2 \frac{dp}{d\psi} - F \frac{dF}{d\psi}

其中 $F = R B_t$ 是与极向电流相关的量。解这个方程， $\psi$ 一定的等值线就成为磁面，而在有限压强的等离子体中会出现磁面中心向外侧偏移的沙夫拉诺夫位移（Shafranov shift）。

在这样处理磁面时，比起普通的空间坐标，贴附在磁面上的坐标系更为方便。以磁通作为径向标签，用极向角和环向角表示磁面上的位置，这样引入磁通坐标（flux coordinates）。特别是，为使磁力线在坐标上看起来是直线而选取角度的那种坐标，称为直磁力线坐标（straight-field-line coordinates），哈马达坐标（Hamada coordinates）和布泽坐标（Boozer coordinates）是常用的。在这种坐标下，安全因子会作为每个磁面上的常数自然地出现，输运和稳定性的分析会大为简化。

$q$ 为有理数 $m/n$ 的磁面称为有理面（rational surface）。在有理面上，磁力线经有限圈就回到自身而闭合，因此共振性的扰动容易增长，成为 MHD 不稳定性和磁岛（magnetic island）的发生点。由于等离子体的有限电阻使磁力线发生重联（磁重联），有理面周围的管会撕裂而形成岛状结构，在岛内部压强被抹平，局部约束发生劣化。特别是新经典撕裂模（neoclassical tearing mode，NTM），自发流动的自举电流（bootstrap current）的缺失会形成使岛增长的正反馈，可通过电子回旋电流驱动（ECCD）补偿缺失电流来加以控制。

$q$ 沿径向的变化率称为磁剪切（magnetic shear），定义为 $s = (r/q)(dq/dr)$ 。剪切强时，径向相邻的磁面上扭转方向发生错位，因此许多不稳定性的模式被拉伸而得到稳定化。在运行上，以中心处的 $q_0$ 和等离子体边缘附近的 $q_{95}$ （归一化磁通 95% 面上的值）为指标，为避免内部扭曲模（kink mode）保持 $q_0 > 1$ ，为避免外部扭曲模保持 $q_{95} > 2$ ，实际上留有余量保持在 $q_{95} > 3$ 左右。

在等离子体边缘，会有意地打开磁面来构造偏滤器位形（divertor configuration）。设置一个使极向磁场为零的 X 点（X-point），在其外侧磁力线连接到壁面的专用区域（偏滤器靶板），在那里承接并排出热量和杂质。人们研究了各种降低热负荷的方案，例如只有一个 X 点的单零点位形、上下对称有两个 X 点的双零点位形，以及用二阶 X 点展宽磁通的雪花位形。

研究前沿（博士水平）

当前磁场位形研究的核心，是把位形本身作为设计变量来优化的位形优化（configuration optimization）。过去是先确定装置形状再分析等离子体，而如今则先指定所期望的物理性能，再反推满足它的线圈形状和磁场分布。

在仿星器中，准对称性（quasi-symmetry）的发现加速了这一趋势。即便在实空间中扭曲而呈非轴对称，只要在布泽坐标上磁场强度沿某个方向对称，该方向的动量就守恒，粒子就能像托卡马克那样被约束住。有准轴对称（quasi-axisymmetry）、准螺旋对称（quasi-helical symmetry）、准极向对称（quasi-poloidal symmetry）等种类，借助大规模数值优化，人们已能设计出高精度满足这些性质的位形。在螺旋系装置仿星器/螺旋方式中，验证这类优化位形是主要课题。

在托卡马克托卡马克方式这一侧，人们研究主动整形电流分布的先进位形（advanced scenario）。在中心部使 $q$ 具有极小值的反剪切位形（reversed shear）会形成内部输运垒（internal transport barrier，ITB），使约束获得飞跃。在中心把 $q$ 剖面保持平坦的混合位形，力求在避免锯齿振荡的同时实现稳定的高性能运行。终极目标是把来自外部的电流驱动降到最低，仅靠自举电流就自给所需极向磁场的完全非感应稳态运行（fully non-inductive steady-state operation）。

支撑优化的数学工具装备也是前沿话题。由于磁面漂亮地存在本身并无保证，人们要探讨磁岛和磁力线随机游荡的随机区域（stochastic region）的产生与抑制。近年来，利用伴随法（adjoint method）和自动微分快速评估对线圈形状的灵敏度，并用梯度法在全局上同时优化线圈与等离子体的方法得到了发展。寻找同时满足约束与稳定性、以及工程上可制造的线圈形状的位形，这一问题至今仍在被活跃地研究。

包括像磁镜系磁镜方式那样用另一种途径抑制端损失的方式在内，什么样的磁场形状最能高效地保持等离子体，这一问题始终处于聚变研究的根基之处。

理解自测

第 1 题为什么直线状的磁场装置无法完全约束住等离子体？

第 2 题为什么仅仅做成环面（甜甜圈形状）还不足以成立约束？

第 3 题为什么旋转变换（磁力线的扭转）能解决漂移问题？

第 4 题关于极向磁场的产生方式，托卡马克和仿星器的区别，下列哪项正确？

第 5 题为什么准对称性（quasi-symmetry）在位形优化中被认为很重要？