劳森判据

劳森判据规定了核聚变反应堆能够“取出的能量多于投入的能量”的最低门槛。它由英国物理学家 J.D. Lawson 于 1957 年推导出来，半个多世纪以来一直被当作衡量核聚变研发进展的标尺。本页将从最浅显之处开始层层搭建，说明为什么从能量收支中会出现密度、温度和约束时间这 3 个量，以及它们如何与点火和 Q 值联系起来。

先建立直觉（高中水平）

我们把核聚变比作“篝火”。要让篝火持续燃烧，添柴的速度（能量产生的速度）必须超过热量散失的速度（能量损失的速度）。如果散失得更快，火就会熄灭。核聚变反应堆也一样，需要让等离子体（原子核与电子四散飞舞的超高温气体）中反应产生的热量，不输给向外散失的热量。

那么，要增加产生的热量、减少散失的热量，什么因素起作用呢？起作用的有以下 3 个。

第一个是密度。只有原子核彼此相撞才会发生聚变，所以粒子越拥挤，碰撞的次数就越多，反应也越频繁。这就像挤满人的房间里，人与人之间更容易相撞一样。

第二个是温度。原子核都带正电，靠近时会因电力而相互排斥。要克服这种排斥、充分靠近，就必须以极高的速度相撞。温度高意味着粒子飞行得快，所以温度越高，就越能越过排斥的壁垒而实现聚变。核聚变所需的温度约为 1 亿度，是一个惊人的高度。

第三个是约束时间。即便费力把它加热了，如果热量马上散失也没有意义。等离子体能把热量保持多久，这种“持久力”就是约束时间。就像保温瓶能让热水长时间保持温热一样，不让热量散失、把它蓄住的能力很重要。

可以把劳森判据理解为：用数字表示“密度”“温度”“约束时间”这 3 者要凑齐到什么程度，火才能自己持续燃烧。只有其中某一个大是不够的，唯有这 3 者的乘积达到一定值以上，才满足条件。

用物理来理解（本科水平）

我们把能量收支用公式严格写出来。等离子体每单位体积所具有的热能，是每个粒子平均具有 $\frac{3}{2}k_B T$ 的能量，又由于离子和电子数目相同，用密度 $n$ （电子密度）可写成

W = 3 n k_B T

其中 $k_B$ 是玻尔兹曼常数， $T$ 是温度。离子和电子各自具有 $\frac{3}{2}n k_B T$ ，合起来就是 $3 n k_B T$ 。

表示这份能量散失速度的，是能量约束时间（energy confinement time） $\tau_E$ 。按定义，每单位体积的损失功率为

P_{\text{loss}} = \frac{W}{\tau_E} = \frac{3 n k_B T}{\tau_E}

$\tau_E$ 越长，意味着在相同的蓄积能量下散失得越慢，也就是保温越好。

另一方面，考虑核聚变反应产生的功率。以氘（D）和氚（T）为燃料的 D-T 反应中，每发生一次反应会放出 17.6 MeV 的能量。其中 3.5 MeV 由阿尔法粒子（氦原子核）携带，14.1 MeV 由中子带走。带电的阿尔法粒子会滞留在等离子体中从内部加热等离子体，而不带电的中子会穿过等离子体逸出到外面。

将 D 和 T 以相同数量混合时，各自的密度为 $n/2$ 。每单位体积的反应率表示为 $\frac{n}{2}\cdot\frac{n}{2}\langle\sigma v\rangle = \frac{n^2}{4}\langle\sigma v\rangle$ 。其中 $\langle\sigma v\rangle$ 是反应截面与相对速度之积按温度分布取平均得到的反应率系数（reactivity），是由温度决定的量。设每次反应的总能量为 $E_f = 17.6$ MeV，则核聚变功率密度为

P_{\text{fus}} = \frac{n^2}{4}\langle\sigma v\rangle E_f

关键在于它与密度的平方成正比，密度增大 1 倍，反应就增大到 4 倍。

点火（ignition）是指不依靠外部加热、仅凭阿尔法粒子加热就能维持等离子体热量的状态。写出阿尔法粒子那部分功率 $P_\alpha = \frac{n^2}{4}\langle\sigma v\rangle E_\alpha$ （这里 $E_\alpha = 3.5$ MeV）与损失功率恰好平衡的条件，即

\frac{n^2}{4}\langle\sigma v\rangle E_\alpha = \frac{3 n k_B T}{\tau_E}

将它对 $n\tau_E$ 求解，得到

n\tau_E = \frac{12 k_B T}{\langle\sigma v\rangle E_\alpha}

这就是劳森判据最基本的形式。只要左边密度与约束时间的乘积超过右边由温度决定的值，火就能自己持续燃烧。在 D-T 反应中，使右边取最小值的温度大约在 10〜20 keV（约 1〜2 亿度）附近，那里的条件大约为

n\tau_E \gtrsim 1.5 \times 10^{20}\ \text{m}^{-3}\cdot\text{s}

既然给出了公式，用中文读一遍就是：“每 1 立方米内的粒子数，与热量保持的秒数相乘，大致超过 $1.5\times10^{20}$ ，就够得上点火。”

深入理论（研究生水平）

前面的推导中把损失归结为 $W/\tau_E$ ，但更准确地说损失有多条途径。主要有：粒子或热量被输运到装置外侧的输运损失（transport loss），以及电子在原子核附近被偏折时放出电磁波而冷却的轫致辐射（bremsstrahlung）。 $\tau_E$ 是把这些输运损失综合起来表示的经验量，其物理内涵是输运理论的主题。详情在输运现象页面讨论。

用三重积（triple product） $nT\tau_E$ 作为性能指标的理由，也能从这个推导中看出来。把上面的劳森判据改写成 $nT\tau_E$ 的形式，即

nT\tau_E \gtrsim \frac{12 (k_B T)^2}{\langle\sigma v\rangle E_\alpha}

右边是仅关于温度的函数，在 D-T 反应中于 $10$ 〜 $20$ keV 附近形成一个几乎恒定的谷。在这一温度区间内， $\langle\sigma v\rangle$ 近似正比于 $T^2$ 而增大，因此右边的温度依赖相互抵消， $nT\tau_E$ 的所需值成为几乎不依赖温度的常数。正因如此，三重积成了一把不易受温度细微差异影响的便利标尺。点火所需的三重积大约估计为

nT\tau_E \gtrsim 3 \times 10^{21}\ \text{keV}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{s}

这一指标的强项在于，它能归结为密度、温度、约束时间这 3 个可独立测量的量的乘积。

即便够不上点火，也可以一边补充外部加热一边获得净增益。这里就要引入核聚变能量增益系数（energy gain factor） $Q$ 。 $Q$ 定义为核聚变输出功率除以外部加热功率之比。

Q = \frac{P_{\text{fus}}}{P_{\text{ext}}}

$Q = 1$ 是科学盈亏平衡（投入的加热功率与核聚变输出相等的状态）。 $Q = 10$ 是 ITER 的目标值，意味着获得外部加热 10 倍的核聚变输出。 $Q \to \infty$ 就是点火，对应于外部加热为零而反应仍能持续的状态。等离子体自加热的比例由阿尔法粒子加热的贡献决定，与 $Q$ 的关系中，自加热的比例可表示为 $\frac{Q}{Q+5}$ 。这来自于在 D-T 反应中，全部能量 17.6 MeV 里阿尔法粒子承担 3.5 MeV，也就是 $1/5$ 。 $Q = 5$ 时自加热占一半， $Q \to \infty$ 时是 100% 的自加热，即点火。

研究前沿（博士水平）

约束方式不同，达到劳森判据的策略也大不相同。各方式的详情汇总在约束方式页面。

磁约束方式（magnetic confinement）像托卡马克和仿星器那样，用强磁场将等离子体长时间约束住。密度相对较低，约 $10^{20}\ \text{m}^{-3}$ ，但通过把约束时间延长到秒的量级来赚取三重积。这是一种低密度、长时间的组合。在托卡马克中，研究的核心是向高约束模（H-mode）的转变，以及通过扩大装置尺寸来改善约束。如何抑制等离子体的湍流输运是决定 $\tau_E$ 的关键，输运壁垒的形成机制至今仍是活跃的研究对象。

惯性约束方式（inertial confinement）用强大的激光将燃料靶丸一举压缩、加热，在粒子自身惯性使其飞散之前的极短时间内完成反应。密度可达 $10^{31}\ \text{m}^{-3}$ 这样数量级悬殊的高度，但约束时间在纳秒以下。它以超高密度、超短时间这种与磁约束方式完全相反的组合来试图满足劳森判据。在惯性方式中，用压缩后燃料的面密度 $\rho R$ （density-radius product）代替密度与约束时间之积作为指标，点火大致以 $\rho R \gtrsim 0.3\ \text{g/cm}^2$ 为标准。

在比较各装置的实测成绩时，即便三重积的数值相同，只要关注它是用怎样的密度、温度、时间组合达成的，就能看出各方式的性格。在磁约束方式中，20 世纪 90 年代 JT-60U 的三重积达到了 $1.5\times10^{21}\ \text{keV}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{s}$ 级，JET 于 1997 年录得 $Q = 0.67$ 。在惯性方式中，美国的国家点火装置（NIF）于 2022 年 12 月报告了取出超过投入激光能量的核聚变能量这一科学成就。ITER 正以 $Q \ge 10$ （核聚变输出 500 MW）为目标建设中。用高温超导磁体增强磁场以使装置小型化的 SPARC 等新方法也在并行推进，出现了用更小的装置追求更高三重积的潮流。阅读论文时，triple product、Lawson criterion、ignition、energy gain（Q）、alpha heating、density-radius product 等词会频繁出现。

反应种类本身也会左右劳森判据，这一点也要牢记。到目前为止都是以 D-T 反应为前提，但燃料的选择不同，所需温度和三重积都会改变。各反应的性质在核聚变反应页面有详细讨论。

理解自测

第 1 题在劳森判据中起作用的 3 个量的组合，哪一个是正确的？

第 2 题核聚变功率密度为什么与密度 n 的平方成正比？

第 3 题关于核聚变能量增益系数 Q，正确的说明是哪一个？

第 4 题磁约束与惯性约束满足同一劳森判据的方式差异，哪一个是正确的？

第 5 题三重积 nTτE 为什么比密度与约束时间之积 nτE 更便于比较装置性能？